Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...
Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q. Dengan kata lain KPK merupakan kelipatan paling kecil yang sama dari beberapa bilangan.

Cara mencari KPK

1. Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

Contoh :
a. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12
Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12 = {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = { 24, 48, …}
KPK dari 8 dan 12 adalah 24

b. Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4
Kelipatan 2 = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ....}
Kelipatan 3 = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}
Kelipatan 4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}
Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 = { 12, 24, ....}
Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

c. Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10
Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}
Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12 = {24, 48, …}
KPK dari 6, 8 dan 12 adalah 24

2. Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Kalikan semua faktorisasi prima
• Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

Contoh :
a. Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 15

2 × 5	3 × 5

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 5 adalah 1
• Maka KPK = 2 × 3 × 5 = 30


b. Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

22 × 3	2 × 3 × 5

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 2.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 1.
• Maka KPK = 2² × 3 × 5 = 60

c. Tentukan KPK dari bilangan 8, 24, dan 36

8 = 23	24 =  23 × 3	36 =  22 × 32

• 2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 3.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 2.
• Maka KPK = 2³ × 3² = 72

3. Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.
• Kalikan semua faktor prima.

Contoh
a. Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

KPK	= 2 × 2 × 2 × 2 × 5
	= 24 × 5
	= 80

b. Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 54

KPK	= 2 × 2 × 3 × 3 × 3
	= 22 × 33
	= 108

c. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

KPK	= 2 × 3 × 5 × 5
	= 2 × 3 × 52
	= 150

saran : dalam mencari FPB dan KPK lebih mudah menggunakan cara tabel





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Read More

Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.
Perhatikan uraian berikut
a. Tentukan semua faktor dari 25.
Penyelesaian:
1 × 25 = 25
5 × 5 = 25
Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

b. Tentukan semua faktor dari 30.
Penyelesaian:
1 × 30 = 30;
2 × 15 = 30;
3 × 10 = 30;
5 × 6 = 30
Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semua faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

c. Tentukan semua faktor prima dari 45.
Penyelesaian:
Ingat kembali cara menentukan faktor prima suatu bilangan dengan pohon faktor.

Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.

Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa
– faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;
– faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.
Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.
Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30.
Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Dengan kata lain FPB merupakan faktor paling besar dari dua bilangan tersebut.

Cara mencari FPB

1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}
FPB dari 18 dan 24 = 6

b. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120
Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
Faktor 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 4, 15}
FPB dari 75 dan 120 = 15

c. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72
Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
FPB dari 36 dan 48 = 12

2. Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
• Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambilah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

20 = 22 × 5	30 = 2 × 3 × 5

FPB	= 2 × 5
	= 10

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
• Maka FPB = 2 × 5 = 10

b. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

48 =  22 × 3 × 5	60 = 24 × 3

FPB	= 22 × 3
	= 12

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 2.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB = 2² × 3 = 12

c. Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

18 = 2 × 32	30 = 2 × 3 × 5	36 = 22 × 32

FPB	= 2 × 3
	= 6

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB = 2 × 3 = 6

3. Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
• Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh
a. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

   FPB = 3


b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

FPB	= 2 × 3 × 3
	= 2 × 32
	= 18

c. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

FPB	= 3 × 5
	= 15

Kerjakan soal-soal berikut.
1. Tentukan semua faktor dari bilangan berikut.
a. 27
b. 36
c. 64
d. 120
e. 240
f. 320

2. Tentukan semua faktor prima dari bilangan berikut. Kemudian, tulislah perkalian faktor-faktor primanya.
a. 24
b. 32
c. 48
d. 56
e. 115
f. 250

3. Tentukan faktor persekutuan dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukan FPB-nya.
a. 16 dan 24
b. 30 dan 45
c. 48 dan 54
d. 9, 18, dan 36
e. 24, 32, dan 64
f. 36, 52, dan 60
g. 82, 120, dan 150
h. 36, 108, dan 160



Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Read More

Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.
Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.

Perhatikan perkalian bilangan berikut.
1 × 8 = 8
2 × 4 = 8
Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.

Sekarang perhatikan perkalian berikut.
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 5 = 5
1 × 7 = 7
Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan prima.
Contoh Bilangan Prima :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}

Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Cara mencari faktorisasi prima

1. Menggunakan Pohon Faktor

a.	Faktorisasi Prima dari 12
	Faktorisasi Prima dari 12	= 2 × 2 × 3
		= 22 × 3
b.	Faktorisasi Prima dari 30
	Faktorisasi Prima dari 30	= 2 × 3 × 5
c.	Faktorisasi Prima dari 84
	Faktorisasi Prima dari 84	= 2 × 2 × 3 × 7
		= 22 × 3 × 7

2. Menggunakan Tabel

a.	Faktorisasi Prima dari 24
	Faktorisasi Prima dari 24	= 2 × 2 × 2 × 3
		= 23 × 3
b.	Faktorisasi Prima dari 30
	Faktorisasi Prima dari 30	= 2 × 2 × 2 × 5
		= 23 × 5
c.	Faktorisasi Prima dari 84
	Faktorisasi Prima dari 84	= 2 × 3 × 5 × 5
		= 2 × 3 × 52

Latihan
Carilah faktorisasi prima dengan dari bilangan-bilangan sebagai berikut :
a. 36
b. 54
c. 68
d. 72
e. 80
f. 99
g. 100



Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan






Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian pada bilangan bulat dan Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu bilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan akan bermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untuk itu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.

Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Di tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan memperdalam materi tersebut.
Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.
Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
...

Contoh
Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...
a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30;
b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30;
c. Tentukan semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.
Penyelesaian:
a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 3 × 2 = 6 4 × 2 = 8 5 × 2 = 10

6 × 2 = 12 7 × 2 = 14 8 × 2 = 16 9 × 2 = 18 10 × 2 = 20

11 × 2 = 22 12 × 2 = 24 13 × 2 = 26 14 × 2 = 28

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28...
b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah 5, 10, 15, 20, 25.
c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20.
Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan







Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More