Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...
Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q. Dengan kata lain KPK merupakan kelipatan paling kecil yang sama dari beberapa bilangan.

Cara mencari KPK

1. Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

Contoh :
a. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12
Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12 = {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = { 24, 48, …}
KPK dari 8 dan 12 adalah 24

b. Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4
Kelipatan 2 = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ....}
Kelipatan 3 = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}
Kelipatan 4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}
Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 = { 12, 24, ....}
Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

c. Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10
Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}
Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12 = {24, 48, …}
KPK dari 6, 8 dan 12 adalah 24

2. Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Kalikan semua faktorisasi prima
• Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

Contoh :
a. Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 15

2 × 5	3 × 5

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 5 adalah 1
• Maka KPK = 2 × 3 × 5 = 30


b. Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

22 × 3	2 × 3 × 5

• 2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 2.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 1.
• Maka KPK = 2² × 3 × 5 = 60

c. Tentukan KPK dari bilangan 8, 24, dan 36

8 = 23	24 =  23 × 3	36 =  22 × 32

• 2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima.
• Pangkat tertinggi 2 adalah 3.
• Pangkat tertinggi 3 adalah 2.
• Maka KPK = 2³ × 3² = 72

3. Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.
• Kalikan semua faktor prima.

Contoh
a. Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

KPK	= 2 × 2 × 2 × 2 × 5
	= 24 × 5
	= 80

b. Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 54

KPK	= 2 × 2 × 3 × 3 × 3
	= 22 × 33
	= 108

c. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

KPK	= 2 × 3 × 5 × 5
	= 2 × 3 × 52
	= 150

saran : dalam mencari FPB dan KPK lebih mudah menggunakan cara tabel





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Read More

Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.
Perhatikan uraian berikut
a. Tentukan semua faktor dari 25.
Penyelesaian:
1 × 25 = 25
5 × 5 = 25
Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

b. Tentukan semua faktor dari 30.
Penyelesaian:
1 × 30 = 30;
2 × 15 = 30;
3 × 10 = 30;
5 × 6 = 30
Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semua faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

c. Tentukan semua faktor prima dari 45.
Penyelesaian:
Ingat kembali cara menentukan faktor prima suatu bilangan dengan pohon faktor.

Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.

Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa
– faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;
– faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.
Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.
Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30.
Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Dengan kata lain FPB merupakan faktor paling besar dari dua bilangan tersebut.

Cara mencari FPB

1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}
FPB dari 18 dan 24 = 6

b. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120
Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
Faktor 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 4, 15}
FPB dari 75 dan 120 = 15

c. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72
Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
FPB dari 36 dan 48 = 12

2. Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
• Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambilah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

20 = 22 × 5	30 = 2 × 3 × 5

FPB	= 2 × 5
	= 10

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
• Maka FPB = 2 × 5 = 10

b. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

48 =  22 × 3 × 5	60 = 24 × 3

FPB	= 22 × 3
	= 12

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 2.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB = 2² × 3 = 12

c. Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

18 = 2 × 32	30 = 2 × 3 × 5	36 = 22 × 32

FPB	= 2 × 3
	= 6

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB = 2 × 3 = 6

3. Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
• Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh
a. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

   FPB = 3


b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

FPB	= 2 × 3 × 3
	= 2 × 32
	= 18

c. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

FPB	= 3 × 5
	= 15

Kerjakan soal-soal berikut.
1. Tentukan semua faktor dari bilangan berikut.
a. 27
b. 36
c. 64
d. 120
e. 240
f. 320

2. Tentukan semua faktor prima dari bilangan berikut. Kemudian, tulislah perkalian faktor-faktor primanya.
a. 24
b. 32
c. 48
d. 56
e. 115
f. 250

3. Tentukan faktor persekutuan dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukan FPB-nya.
a. 16 dan 24
b. 30 dan 45
c. 48 dan 54
d. 9, 18, dan 36
e. 24, 32, dan 64
f. 36, 52, dan 60
g. 82, 120, dan 150
h. 36, 108, dan 160



Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan

Read More

Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.
Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.

Perhatikan perkalian bilangan berikut.
1 × 8 = 8
2 × 4 = 8
Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.

Sekarang perhatikan perkalian berikut.
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 5 = 5
1 × 7 = 7
Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan prima.
Contoh Bilangan Prima :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}

Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Cara mencari faktorisasi prima

1. Menggunakan Pohon Faktor

a.	Faktorisasi Prima dari 12
	Faktorisasi Prima dari 12	= 2 × 2 × 3
		= 22 × 3
b.	Faktorisasi Prima dari 30
	Faktorisasi Prima dari 30	= 2 × 3 × 5
c.	Faktorisasi Prima dari 84
	Faktorisasi Prima dari 84	= 2 × 2 × 3 × 7
		= 22 × 3 × 7

2. Menggunakan Tabel

a.	Faktorisasi Prima dari 24
	Faktorisasi Prima dari 24	= 2 × 2 × 2 × 3
		= 23 × 3
b.	Faktorisasi Prima dari 30
	Faktorisasi Prima dari 30	= 2 × 2 × 2 × 5
		= 23 × 5
c.	Faktorisasi Prima dari 84
	Faktorisasi Prima dari 84	= 2 × 3 × 5 × 5
		= 2 × 3 × 52

Latihan
Carilah faktorisasi prima dengan dari bilangan-bilangan sebagai berikut :
a. 36
b. 54
c. 68
d. 72
e. 80
f. 99
g. 100



Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan






Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian pada bilangan bulat dan Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu bilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan akan bermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untuk itu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.

Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Di tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan memperdalam materi tersebut.
Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.
Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
...

Contoh
Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...
a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30;
b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30;
c. Tentukan semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.
Penyelesaian:
a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 3 × 2 = 6 4 × 2 = 8 5 × 2 = 10

6 × 2 = 12 7 × 2 = 14 8 × 2 = 16 9 × 2 = 18 10 × 2 = 20

11 × 2 = 22 12 × 2 = 24 13 × 2 = 26 14 × 2 = 28

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28...
b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah 5, 10, 15, 20, 25.
c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20.
Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan







Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

Pernahkah kamu berbelanja ke supermarket? Jika pernah, apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?
Misalkan, kamu berbelanja barang-barang seharga Rp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepada kasir, berapa uang kembalian yang kamu terima?

Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.

1. Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.
• Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan.
• Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.
2. Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat
• Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dan satuan dihilangkan.
• Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5, angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.

Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

Contoh

1. Tentukan taksiran pada hasil perhitungan berikut ke angka puluhan terdekat.
a. 37 × 19
b. 118 : 24
c. 2.463 : 31
Penyelesaian:
a. 37 × 19 ≈ 40 × 20 = 800
b. 118 : 24 ≈ 120 : 20 = 6
c. 2.463 : 31 ≈ 2.460 : 30 = 82

2. Tentukan taksiran pada hasil perhitungan berikut ke angka ratusan terdekat.
a. 225 × 133
b. 392 × 1.174
c. 2.548 : 481
Penyelesaian:
a. 225 × 133 ≈ 200 × 100 = 20.000
b. 392 × 1.174 ≈ 400 × 1.200 = 480.000
c. 2.548 : 481 ≈ 2.500 : 500 = 5

Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif
Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima
Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan





Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Pembagian Bilangan Bulat

a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian
Perhatikan uraian berikut.

1. 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 3 × 4 = 12 ↔ 12 : 3 = 4.
2. 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis 4 × 3 = 12 ↔ 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q ≠ 0 maka berlaku p : q = r ↔ p = q × r.

b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku (i) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;    (ii) jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol.
Untuk setiap a bilangan bulat berlaku
a × 0 = 0 ↔ 0 : a = 0
Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ≠ 0.

Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d. Sifat pembagian pada bilangan bulat
Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?
Perhatikan bahwa 15 : 3 = 5
8 : 2 = 4
2 : 2 = 1
Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?
Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat?
Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8?
Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi
12 : (6 : 2) = 4.
Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat



Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat terdiri dari

1) Sifat tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 × 8 = ....
(–3) × 8 = ....
3 × (–8) = ....
(–3) × (–8) = ....
Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p × q = r dengan r juga bilangan bulat.

2) Sifat komutatif
Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
2 × (–5) = ....
(–5) × 2 = ....
(–3) × (–4) = ....
(–4) × (–3) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p × q = q × p.

3) Sifat asosiatif
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 × (–2 × 4) = ....
(3 × (–2)) × 4 = ....
(–2 × 6) × 4 = ....
–2 × (6 × 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p × q) × r = p × (q × r).

4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
2 × (4 + (–3)) = ....
(2 × 4) + (2 × (–3)) = ....
(–3) × (–8 + 5) = ....
((–3) × (–8)) + (–3 × 5) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p × (q + r) = (p × q) + (p × r).

5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
5 × (8 – (–3)) = ....
(5 × 8) – (5 × (–3)) = ....
6 × (–7 – 4) = ....
(6 × (–7)) – (6 × 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p × (q – r) = (p × q) – (p × r).

6) Memiliki elemen identitas
Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.
3 × 1 = ....
1 × 3 = ....
(–4) × 1 = ....
1 × (–4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p × 1 = 1 × p = p.

Elemen identitas pada perkalian adalah 1.





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Perkalian pada Bilangan Bulat
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat




Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Perkalian pada Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.
4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 × 5 dan 5 × 4 berbeda artinya.

Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka


Perhatikan uraian berikut.
2 × 4 = 4 + 4 = 8
2 × 3 = 3 + 3 = 6
2 × 2 = 2 + 2 = 4
2 × 1 = 1 + 1 = 2
2 × 0 = 0 + 0 = 0
–2 × 4 = – (2 × 4) = – (4 + 4) = –8
–2 × 3 = – (2 × 3) = – (3 + 3) = –6
–2 × 2 = – (2 × 2) = – (2 + 2) = –4
–2 × 1 = – (2 × 1) = – (1 + 1) = –2
–2 × 0 = – (2 × 0) = – (0 + 0) = 0
2 × (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 × (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) × (–3) = – (2 × (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) × (–2) = – (2 × (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) × (–1) = – (2 × (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2

Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
Jika p dan q adalah bilangan bulat maka



Kerjakan soal-soal berikut.
1. Tulislah arti perkalian berikut, kemudian selesaikan.
a. 8 × 4
b. 2 × (–3)
c. 3 × p
d. 4 × (–p)
e. 4 × 8
f. 5 × (–2p)
2. Hitunglah hasil perkalian berikut.
a. 7 × (–18)
b. (–12) × (–15)
c. (–16) × 9
d. 25 × 0
e. (–24) × (–11)
f. 35 × (–7)





Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Pembagian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat




Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Pengurangan pada Bilangan Bulat

Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.
a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang
Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.
1) 4 – 3
2) 4 + (–3)
3) –5 – (–2)
4) –5 + 2
Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.
4 – 3 = 4 + (–3) = 1
–5 – (–2) = –5 + 2 = –3
Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.
Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (–b)

Contoh
a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2
b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14
c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6
Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu
Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

Contoh
1. 4 – 7
Penyelesaian:
Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.



2. –3 – (–5)
Penyelesaian:
Langkah-langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.
(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2



Kerjakan soal-soal berikut.
1. Hitunglah hasilnya.
a. 9 – 3
b. 5 – 8
c. –13 – 9
d. 16 – (–6)
e. –15 – 9 – 13
f. 32 – 21 – 14
g. –18 – 11 – (–24)
h. (–7 – 27) – 18

2. Jika n adalah bilangan bulat, tentukan nilai n agar menjadi kalimat yang benar.
a. 7 – n = 2
b. n – 4 = –3
c. n – (–9) = 5
d. –8 – n = –1
e. –n – (–6) = 0

3. Diketahui suhu di Puncak Jaya Wijaya –4°C, sedangkan suhu di Kota Mekah 48°C. Hitunglah selisih suhu kedua tempat tersebut.

4. Jarak Kota A dan Kota B 40 km. Jika Kota C terletak di antara Kota A dan B, sedangkan jaraknya 25 km dari Kota B, berapakah jarak Kota C dari Kota A?




Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Perkalian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat




Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Bilangan bulat memiliki beberapa sifat yaitu: Sifat Tertutup, Sifat Komutatif, Mempunyai unsur identitas, Sifat asosiatif, Mempunyai invers.

a. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

Contoh:
a. –16 + 25 = 9
–16 dan 25 merupakan bilangan bulat. 9 juga merupakan bilangan bulat.
b. 24 + (–8) = 16
24 dan –8 merupakan bilangan bulat. 16 juga merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

Contoh:
a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11
b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3
c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4
d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh:
a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6 = 5 dan 4 + ((–5) + 6) = 4 + 1 = 5
Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).
b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10 = –2 dan –3 + ((–9) + 10) = –3 + 1 = –2
Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).
Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.


Kerjakan soal-soal berikut
1. Dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat, hitunglah hasil penjumlahan berikut.
a. 23 + (–19) + 37
b. 32 + (–27) + (–43)
c. (–51) + 75 + 51
d. –38 + (–45) + (–22)
e. (–49) + 56 + (–31)
f. 25 + (–17) + (–28)

2. Tentukan nilai x yang memenuhi untuk x bilangan bulat.
a. 4 + x = –3
b. x + (–5) = 6
c. –2 + x = –6
d. x + (–8) = 0
e. 9 + x = 0
f. x + (–5) + (–9) = 0

3. Suatu permainan diketahui nilai tertingginya 100 dan nilai terendahnya –100. Seorang anak bermain sebanyak 6 kali dan memperoleh nilai berturut-turut 75, –80, –40, 65, x, dan –50. Jika jumlah nilai anak tersebut seluruhnya 60, tentukan nilai x yang memenuhi.



Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Perkalian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat






Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Penjumlahan pada Bilangan Bulat

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT
operasi hitung pada bilangan bulat terdiri dari:
1. Penjumlahan pada Bilangan Bulat
2. Pengurangan pada Bilangan Bulat
3. Perkalian pada Bilangan Bulat
4. Pembagian Bilangan Bulat
Pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang Penjumlahan pada Bilangan Bulat.

Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan dengan alat bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.
Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

Contoh:
Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.
1. 6 + (–8)
2. (–3) + (–4)

Penyelesaian:
1. 6 + (–8)

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2. (–3) + (–4)

Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.


Kerjakan soal-soal berikut.
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulat berikut ini.
a. 3 + 7
b. –8 + 5
c. 6 + (–9)
d. (–4) + (–7)
e. 8 + (–2)
f. –6 + 10
g. (–5) + 10
h. (–3) + 2
i. (–6) + (–4)
j. (–8) + (–3)

b. Penjumlahan tanpa alat bantu

Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama
Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
Contoh:
a) 125 + 234 = 359
b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.
Contoh:
a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15
b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62


Kerjakan soal-soal berikut.
1. Tanpa menggunakan alat bantu, hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulat berikut ini.
a. 23 + 19
b. (–42) + 27
c. 38 + (–53)
d. (–46) + (–35)
e. (–56) + 47
f. 32 + (–18)
g. (–15) + 62
h. (–27) + (–14) + 75
i. (–34) + 46 + (–28)
j. 68 + (–29) + (–45)

2. Tentukan nilai p yang memenuhi, sehingga kalimat matematika berikut ini menjadi benar.
a. 8 + p = 15
b. p + (–4) = 1
c. (–12) + p = –3
d. –p + 6 = 4
e. 9 + (–p) = –5




Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Perkalian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat



Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Pengertian Bilangan Bulat

Pernahkah kalian memerhatikan termometer?
Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0°C digunakan tanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhu air mendidih 100°C dan membeku pada suhu 0°C . Jika air berubah menjadi es, suhunya kurang dari 0°C . Misalkan, es bersuhu –7°C , artinya suhu es tersebut 7°C di bawah nol. Sebelum kalian mempelajari bilangan bulat, sebaiknya kalian memahami kembali mengenai bilangan cacah, garis bilangan, kuadrat, akar pangkat dua, serta KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih. Pemahaman materi tersebut akan sangat bermanfaat dalam mempelajari materi bilangan bulat. Konsep yang akan kalian pelajari pada bab ini merupakan dasar untuk mempelajari bab selanjutnya.

1. Pengertian Bilangan Bulat

Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh?
Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.


Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?
Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.
Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Seharihari

Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat

Perhatikan garis bilangan di atas.
Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan, makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku
a. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;
b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiri bilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan –3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau –5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh –5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.


Kerjakan soal-soal berikut
1. Jika permukaan air laut dinyatakan dengan 0 meter, tulislah letak suatu tempat yang ditentukan sebagai berikut.
a. 175 meter di atas permukaan air laut.
b. 60 meter di bawah permukaan air laut.
c. 270 meter di bawah permukaan air laut.
d. 10 meter di atas permukaan air laut.

2. Dengan menggunakan garis bilangan, tentukan
a. lima bilangan bulat yang terletak di sebelah kiri 3;
b. enam bilangan bulat yang terletak di sebelah kanan –2;
c. empat bilangan bulat yang lebih dari –1;
d. tujuh bilangan bulat yang kurang dari 5.

3. Diketahui sebuah tangga lantai memiliki 10 anak tangga. Nyoman dan Santi berada di anak tangga ke-2, kemudian mereka naik 7 tangga ke atas. Karena ada buku yang terjatuh, Nyoman dan Santi turun 5 tangga ke bawah. Di anak tangga berapakah mereka sekarang?

4. Tentukan benar atau salah pernyataan berikut.
a. –4 < –8 b. 5 > –7
c. –2 > –4
d. –3 < –4 e. –2 > –102
f. –150 < 150 g. 6 < –5 h. –75 > –57

5. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda “>” atau “<“, sehingga menjadi kalimat yang benar. a. –3 ... 5 b. 12 ... 27 c. –8 ... –13 d. 16 ... –24 e. 0 ... –1 f. 17 ... –15 g. –36 ... 42 h. 2 ... –21 i. –19 ... –14 j. 39 ... –7

6. Tentukan nilai x yang memenuhi a. x ≤ –1, pada S = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}; b. x > 2, pada S = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};
c. –5 < x ≤ 4, pada S = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Kemudian gambarlah masing-masing nilai-nilai tersebut pada garis bilangan.

7. Diketahui suhu di dalam suatu ruangan laboratorium 17°C. Karena akan digunakan untuk sebuah penelitian, maka suhu di ruangan tersebut diturunkan 25°C lebih rendah dari suhu semula. Berapakah suhu di ruangan itu sekarang?


Materi Terkait:
Pengertian Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan
Perkalian pada Bilangan Bulat
Perkalian Bilangan Bulat
Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat





Sumber: BSE (Dewi Nuharini & Tri Wahyuni)

Read More

Cara Menampilkan Menu Earnings atau Uangkan di Dashboard Blogger

Dulu pertama kali waktu mencoba untuk melihat menu earnings atau uangkan pada blog saya ini saya sempat bingung karena saya cari-cari tapi kok tidak saya temukan di dashboard, setelah saya googling dan membaca beberapa artikel akhirnya saya dapat menampilkan earnings atau uangkan pada dashboard blog saya ini. Untuk langkah-langkahnya sebagai berikut:

• Pertama masuklah ke acount Blogger Anda.
• Setelah itu Pilih Settings.

• Kemudian Pilih Language and Formatting.

• Setelah masuk Language and Formatting, selanjutnya untuk Language pilih English.

• Terakhir jangan lupa klik Save settings.

• Setelah itu lakukan reload atau muat ulang laman insya Allah hasilnya akan seperti gambar dibawah ini.

Semoga Bermanfaat!

Read More

Cara Memilih Menentukan Keyword di Blog

menentukan keyword terbaik | tips cara menentukan keyword tepat

Sobat sangat penting untuk kita dalam menganalisa keyword-keyword apa saja yang sudah dan mungkin akan membawa traffic pengunjung, seperti pada postingan sebelumnya, artikel Menganalisa Keyword yang Membawa Traffic. Artikel Cara dan tips menentukan keyword yang terbaik yang sobat baca ini adalah kelanjutannya.

Menentukan Keyword dengan Google Trends

Google Trends dapat dijadikan sarana untuk menemukan dan menentukan kata kunci yang tepat. Dengan menggunakan Google Trends maka sobat bisa melihat tingkat pencarian keyword yang diinginkan berdasarkan sebaran Negara. Hasilnya tentu berupa peta sebaran pengguna search engine google berdasarkan Negara.
Dari blog sebelah saya mendapatkan informasi jika Google Trends sangat bermanfaat untuk para blogger yang mengelola blog berbahasa Inggris baik untuk hobby maupun bisnis online. Hal ini disebabkan layanan Google Trends adalah khusus publik USA dan sudah barang tentu artikel berbahasa Inggris menjadi persyaratan.
Google Trends juga bisa melihat sebaran kata kunci tertentu di tiap-tiap kota di sebuah negara. Contoh: saya iseng mengetikkan kata kunci Mak Erot di di Google Trends dan ketika muncul hasil Indonesia, saya klik pada Indonesia. Hasilnya menunjukkan pada seberapa populer kata kunci atau kyword tsb di tiap kota-kota besar Indonesia (di-search oleh netters di kota-kota itu). Lihat pada gambar:


klik supaya jelas

Bagaimana pengetahuan ini bisa saya aplikasikan pada blog? Jika sebuah kata kunci amat populer di sebuah kota/daerah tertentu, maka sobat bisa fokus disana misalnya dengan : memberikan sentuhan bahasa daerah setempat di dalam artikel atau memberikan diskon misalnya free ongkir untuk para netters yang mencari produk sobat di kota-kota tsb, atau memberikan informasi-informasi dimana produk/jasa sejenis bisa ditemukan di kota mereka, atau jika kebetulan kota yang sobat diami menempati ranking bagus dalam keyword tsb maka sedari sekarang optimalkan keyword itu bagi penduduk setempat (misalnya ambil kata kunci: Mak Erot Bandung – ini dalam konteks kata kunci mak erot yang saya contohkan tadi yahh) …. Huaaaa ada buanyaaaak banget kemungkinannya!

Menentukan Keyword dengan Google Analytics

Cara ini gak bisa dipakai oleh pengguna WordPress.com yang gratis karena sobat engga bisa mengutak-atik CSS. Untuk blog sef hosting bisa memasang plugin Google Analytics (download disini ) dan tinggal mendaftar di sini . Cara menentukan keyword dengan Google Analytics kurang saya sukai karena pusing melihat banyaknya tabel-tabel namun bro idoodie di dalam tulisannya ini meng-encourage kita untuk menggunakan Analytics. Jangan pusing kata si masbro, nanti lama-lama juga biasa!

Menentukan Keyword dengan Google AdWords

Cara-cara menentukan kata kunci keyword dengan Google AdWords bisa sobat baca disini. Cara ini saya ketahui sejak 2 tahun lalu namun baru saya aplikasikan dengan agresif sejak 2010 kemarin. Coba deh. Amat efektif dalam menentukan keyword terbaik untuk blog sobat.
Saya kasih contoh untuk kalimat “Model Busana Muslimah” dan “Jual Baju Muslimah” yang saya ketikkan dalam AdWords. NB: Di bagian advance options and filters, saya memilih “all mobile devices” (sebaiknya jika sobat menggunakan AdWords, pilih dulu yang “desktop and laptop service”. Saya saat ini cenderung menganalisa kata kunci dari pengguna mobil device spt smartphone, iphone, hape jadul, dll ).
Saya dapat ide untuk menganalisa kalimat “Model Busana Muslimah” dan “Jual Baju Muslimah” dari mbakyu Nopha yang kebetulan juga berjualan baju muslimah. Lihat pada Gambar:





Niche / ceruk dari kedua kalimat di atas adalah sama: Baju Muslimah. Untuk bersaing di niche ini, kita bisa mengambil kata kunci-kata kunci yang muncul dari kedua kalimat yang kita ketikkan di AdWords tsb, namun sebaiknya kata kunci yang diambil adalah kata kunci yang persaingannya sedikit (dalam hal ini ditunjukkan oleh global dan local monthly search). Pilihlah yang persaingannya tidak terlalu ketat. Jangan langsung terjun di kata kunci yang pencariannya tinggi sekali.
Masukkan dulu 3-4 kata kunci yang persaingannya tidak terlalu ketat secara konsisten dalam sebuah artikel. Lalu bikin 3-4 artikel baru dan gunakan kata kunci yang sama atau lihat pada kata kunci lain. Optimalkan kata kunci ini dengan SEO. Hubungkan semua artikel ini dalam inbound link agar mereka bertautan satu sama lain.Jangan lupakan teknik2 SMO juga yah.
Setelah beberapa bulan.. nah sekarang saatnya sobat membidik kata kunci yang persaingannya lebih ketat. Buat lagi beberapa artikel dengan kata kunci di niche tsb (dalam konteks ini adalah Busana Muslimah). Optimalkan dengan SEO dan SMO.
Dengan cara ini artikel-artikel sobat akan mulai bersaing di SERP (Search Engine Results Page). Biasanya paling jauh ada di halaman 3. Bisa baca di artikel ini bagaimana saya mendapatkan hasil SERP yang bagus setelah diukur menggunakan:
www.seoserp.com/web_tools/google_top_1000_serps_checker.asp
Bagaimana sobat? Engga susah kan menentukan dan menganalisa kata kunci terbaik untuk blog kita?

Read More